数据的表示和运算
# 数据的表示和运算
# 进位计数制
# 最古老的计数方法
最古老的计数方法 —— 罗马数字
# 十进制计数法
古印度人发明的阿拉伯数字：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9。符号反映权重
- “进位计数制”：有 0~9，共十种符号。逢十进一
# r 进制计数法
- 基数：每个数码位所用到的不同符号的个数，r 进制的基数为 r
- r 进制的进位计数制，有 0 ~ r-1，共有 r 种符号，逢 r 进 一
二进制是最适合计算机使用的进制，为什么呢？
- 可使用两个稳定状态的物理器件表示，如高电平低电平，电荷正负性等
- 0，1 正好对应逻辑值 假、真。方便实现逻辑运算
- 可很方便地使用逻辑门电路实现算术运算
# 不同进制数之间的相互转换
# 任意进制转十进制
# 二进制与八进制互转
二转八，3 位一组，毎组转换成对应的八进制符号，如不足三位则需要在后面 / 前面补足零
八转二，每位八进制对应的 3 位二进制
# 二进制与十六进制互转
二转十六，4 位一组，毎组转换成对应的十六进制符号，如不足三位则需要在后面 / 前面补足零
十六转二，每位十六进制对应的 4 位二进制
# 各种进制的常见书写方式
# 十进制转任意进制
我们用 r 进制除以 r，可以得到一个余数
那么小数部分怎么处理呢，我们可以用小数部分乘以基数 r，而前面的整数就是我们要的二进制在各个位上的值，称为乘基取整法，注意有的十进制小数无法用二进制精确表示，如下面例子中的 0.3
# 拼凑法
十进制：260.75、533.125
# 真值和机器数
- 真值：符合人类习惯的数字
- 机器数：数字实际存到机器里的形式，正负号需要被 “数字化”
# 总结
# BCD 码
BCD ：Binary-Coded Decimal，用二进制编码的十进制
# 8421 码
8421 码指的是 4 位来描述，它是一种有权码，从高到低依次为 8,4,2,1
4 个二进制位 —> 16 种不同的状态，而 BCD 码直使用其中 10 种 —> 不同的映射方案
若两个 8421 码相加之和小于或等于
若 相加之和大于或等于
# 余 3 码
余 3 码：8421 码 +
# 2421 码
2421 码：改变权值定义，这也是一种有权码，权值由高到低分别为 2,4,2,1，特点是大于或等于 5 的 4 位二进制数中最高位为 1，小于 5 的最高位为 0，为了避免歧义出现两种有权码的情况
# 总结
# 定点数的编码表示
- 定点数：小数点的位置固定 Eg：996.007 —— 常规计数
- 浮点数：小数点的位置不固定 Eg：
—— 科学计数法
# 无符号数的表示
- 无符号数：整个机器字长的全部二进制位均为数值位，没有符号位，相当于数的绝对值。
表示范围
通常只有无符号整数，而没有无符号小数
# 有符号数的定点表示
# 原码
- 原码：用尾数表示真值的绝对值，符号位 “0/1” 对应 “正 / 负”
- 若机器字长 n+1 位，原码整数的表示范围：
（关于原点对称），真值 0 有 +0 和 -0 两种形式 - 若机器字长 n+1 位，原码小数的表示范围：
（关于原点对称），真值 0 有 +0 和 -0 两种形式
# 反码
- 若符号位为 0，则反码与原码相同
- 若符号位为 1，则数值位全部取反
“反码” 只是 “原码” 转变为 “补码” 的一个中间状态
# 补码
- 正数的补码 = 原码
- 负数的补码 = 反码末位 + 1（要考虑进位）
将负数补码转回原码的方法相同：尾数取反，末位 + 1
# 移码
- 补码的基础上将符号位取反。注意：移码只能用于表示整数
用移码表示的整数可以很方便对比大小，我们首先比对第一位，如果相同则往后继续对比
# 用几种码表示定点整数
- 原码和反码的真值 0 有两种表示
- 补码和移码的真值 0 只有一种表示
- 补码和移码可以多表示一个负数
# 总结
- 由
快速求 $[-x]_补 $：可以将符号位、数值位全部取反，末位 + 1
# 各种码的作用
# 加减运算
有符号数和无符号数在加运算时的差异
如果是有符号数则需要转为减法
使用原码运算：
- 加法 —— 用加法器完成
- 减法 —— 用减法器完成
# 用加法代替减法
当一个时钟指向 10 点时，我们想更改时钟为 7 点，则有两种方式，顺时针和逆时针，顺时针可以看作加法运算，而逆时针可以看作为逆时针，由于时钟的时针的范围是 12，所以在模 12 的情况下，我们可以将减法运算替换成相当于的加法运算
# 模运算的性质
如：
# 计算机底层如何实现这个操作
我们限制每个数使用 8bit 的空间，所以任何运算结果在
- 补码的作用：使用补码可将减法操作转变为等价的加法，ALU 中无需集成减法器。执行加法操作时，符号位一起参与运算
# 浮点数的表示和运算
# 浮点数的表示
# 定点数的局限性
定点数可表示的数字范围有限，但我们不能无限制地增加数据的长度
如何在位数不变的情况下增加数据表示范围？
从科学计数法理解浮点数
# 浮点数的表示
定点数：如纯小数 0.1011 和纯整数 11110
- 阶码 E 反映浮点数的 表示范围 及小数点的实际位置；
- 尾数 M 的数值部分的位数 n 反映浮点数的 精度 。
尾数给出一个小数，阶码指明了小数点要向前 / 向后移动几位。
# 浮点数尾数的规格化
如果 b 使用 8bit 的存储空间存储，那么会丢失部分精度，如科学计数法中的尾数的最高位是无效值，会丧失精度
以上面的 b 为例子，我们可以将尾数向左移，不以 0 为开头的无效值存储
规格化浮点数：规定尾数的最高数值位必须是一个有效值 。
- 左规：当浮点数运算的结果为非规格化时要进行规格化处理，将尾数算数左移一位，阶码减 1。
- 右规：当浮点数运算的结果尾数出现溢出（双符号位为 01 或 10）时，将尾数算数右移一位，阶码加 1。
注：采用 “双符号位” ，当溢出发生时，可以挽救。更高的符号位是正确的符号位
# 规格化浮点数的特点
用原码表示的尾数进行规格化：
- 正数为 0.1××…× 的形式，其最大值表示为 0.11…1；最小值表示为 0.10…0。尾数的表示范围为 1/2≤M≤(1−2 −n)。
- 负数为 1.1××…× 的形式，其最大值表示为 1.10…0；最小值表示为 1.11…1。尾数的表示范围为−(1−2 −n)≤M≤−1/2。
用补码表示的尾数进行规格化：
- 正数为 0.1××…× 的形式，其最大值表示为 0.11…1；最小值表示为 0.10…0。尾数的表示范围为 1/2≤M≤(1−2 −n)。
- 负数为 1.0××…× 的形式，其最大值表示为 1.01…1；最小值表示为 1.00…0。尾数的表示范围为−1≤M≤−(1/2+2 −n)。
# 小结
